Антон Абанович закончил в 1997 году Российскую Академию музыки им. Гнесиных по классу флейты, участвовал в международных мастер-классах, стажировался у профессора Феликса Ренггли в Базельской Академии музыки (Швейцария), работал в профессиональных симфонических оркестрах под руководством В. Полянского, В. Дударовой, В. Зива,  М. Горенштейна, регулярно даёт сольные концерты.

С 1997 года Антон Абанович преподаёт в различных музыкальных школах – ДМШ им. Бетховена, ДМШ им. Танеева, Московской средней специальной музыкальной школе (колледже) им. Гнесиных; с 2014 года занимает должность заведующего духовым отделением ДШИ №18.

Его ученики являются победителями Фестиваля детского творчества Фонда «Новые имена», дипломантами международного телевизионного конкурса «Щелкунчик» и других известных региональных и международных конкурсов.

В 2014 году А. Абанович защитил кандидатскую диссертацию на тему «Флейтовая школа Московской консерватории в XX веке».

В 2015-2019 годах музыкант был участником базирующегося в Вильнюсе (Литва) ансамбля AnMira Duo с которым активно концертировал в странах Европы и принимал участие в докторантской программе Литовской Академии музыки и театра (LMTA).

С 2020 года А. Абанович ведёт в частных школах Москвы авторский курс по истории развития искусства для младших школьников «ART+Интеллект».